2.1、对弧长曲线积分的概念——积分的定义

1、单选题：

‏设为空间中一条光滑曲线，为定义在上的函数.“函数在曲线上有界”是“对弧长曲线积分存在”的（   ）.

​选项：
A: 充分不必要条件
B: 必要不充分条件
C: 充分且必要条件
D: 既不充分又不必要条件
答案: 【 必要不充分条件】

2、判断题：

‎设为空间中一条光滑曲线，为定义在上的函数.将曲线任意分成个弧长为的小弧段，在每一小弧段上任取一点，若极限存在，则函数在曲线上对弧长是可积的.

​选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

2.2、对弧长曲线积分的概念——实际意义与性质

1、判断题：

‌关于弧长的曲线积分表示线密度为的曲线型构件的质量.

‍选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

2、对坐标曲线积分的概念

1、判断题：

‏设曲线为力场中的分段光滑有向曲线，则一定有 .

‏选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

2、简单区域的格林公式

1、单选题：

‍设为圆周,取逆时针方向,则对坐标的曲线积分的值为(     ).

‍选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

2、判断题：

​设区域为平面上的简单闭区域，其边界为光滑或分段光滑曲线，取逆时针方向，则必有格林公式成立.

‌选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

3、一般区域的格林公式

1、单选题：

‍设为圆周的正向，则的值为(     ).

‎选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

2、判断题：

‏格林公式对多连通区域也成立．

‍选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

3、对坐标曲线积分的计算

1、单选题：

‎设为从到的直线段,则(   )．

‏选项：
A: 2
B: -1
C: 0
D: 1
答案: 【 0】

2、单选题：

​设表示椭圆,其方向为顺时针方向,则(   )．

​选项：
A:
B: 0
C:
D: 1
答案: 【 0】

3、判断题：

‏如果曲线的方程为且起点对应于, 终点对应于，则.

​选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

3、对弧长曲线积分的计算

1、单选题：

‍设为连接与两点的直线段, 则的值为（   ）.

‎选项：
A:
B: 2
C:
D:
答案: 【 】

2、判断题：

‏设光滑曲线弧的方程为，函数为定义在上的连续函数，则在曲线上对弧长的曲线积分存在，且.

‏选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

4.1、对弧长曲线积分的应用——面积与质心

1、单选题：

‍设圆柱螺线的密度分布与无关而与成正比，则这一段螺线的质心为（   ）.

‍选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

2、单选题：

‎圆柱面介于平面和之间且位于第一、二卦限内的部分的面积为（  ）.

‏选项：
A:
B: 0
C: 1
D:
答案: 【 】

4.2、对弧长曲线积分的应用——对质点的引力

1、判断题：

‎平面上非均匀曲线对质点的引力可以通过对引力微元在轴和轴上的投影和在上进行积分得到.

‌选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

4、两类曲线积分的关系

1、判断题：

‏设为有向光滑曲线，与其方向一致的曲线的单位切向量为，则，该式揭示了两类曲线积分之间的联系.

‍选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

2、判断题：

​设为单位圆周，方向为顺时针方向，则有.

‍选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

4、区域面积的计算

1、判断题：

‏设为平面的有界闭区域，其边界为光滑或分段光滑曲线，则区域的面积.

‍选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

5.1、对坐标曲线积分的应用——变力做功

1、判断题：

‏设在力场作用下，质点从点沿抛物线移动到点，则力场对质点所作的功为.

​选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

5.2、对坐标曲线积分的应用——平面场的环量与流量

1、判断题：

‏设圆周和椭圆周均为逆时针方向，则向量场沿和的环量相等，均为.

‌选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

2、判断题：

‏设圆周和椭圆周均为逆时针方向，则向量场通过和的流量相等，均为.

‍选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

第一讲 对弧长的曲线积分的概念与计算

1、单选题：

‎设有点和，为线段组成的闭曲线，则曲线积分的值为 (   )．

‍选项：
A:
B:
C: 1
D: 0
答案: 【 】

2、单选题：

‎设为曲线段，则的值为(   )．

‌选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

3、单选题：

‌设半圆形状的曲线在处的密度为，则曲线关于轴的转动惯量为(   )．

​选项：
A:
B: 0
C:
D: 1
答案: 【 】

4、单选题：

‏设是圆周在第一象限内的部分，则的值为(   )．

​选项：
A: 5
B: 1
C: -1
D: -5
答案: 【 5】

5、单选题：

‍设为星形线，则的值为 (   )．

‌选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

6、单选题：

​空间曲线上从点到点的弧长为(   )．

‌选项：
A: 5
B:
C:
D:
答案: 【 5】

7、单选题：

‏设为圆周，则的值为 (   )．

‎选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

8、单选题：

‌设曲线为球面与平面的交线，则的值为 (   )．

‌选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

9、判断题：

‏若被积函数，则表示曲线的弧长.

‎选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

10、判断题：

‌

‍选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

11、判断题：
‎对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关.‍
选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

12、判断题：

‍若被积函数，则关于弧长的曲线积分表示线密度为的曲线型构件的质量.

‎选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

13、判断题：

‌如果曲线的方程为，则.

‌选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

14、判断题：

‏如果曲线的方程为，则.

‎选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

15、判断题：

‍设曲线由两段曲线组成，若函数在曲线上的积分存在，则有.

​选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

第三讲 格林公式

1、单选题：

​设为一条不过原点且不包含原点的光滑闭曲线，则的值为（   ）．

‌选项：
A: 0
B:
C:
D:
答案: 【 0】

2、单选题：

​设为一条不过原点且包含原点在内的光滑闭曲线，则的值为（   ）．

‌选项：
A:
B: 0
C:
D:
答案: 【 】

3、单选题：

‎设L为圆周上由到的一段弧，则的值为（   ）．

‎选项：
A:
B:
C: 0
D: 2
答案: 【 】

4、单选题：

‍设是单位圆从点到点的上半圆周，则的值为（   ）．

‍选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

5、单选题：

‍使格林公式成立的闭区域D（   ）．

​选项：
A: 为单连通或多连通区域
B: 仅为单连通区域
C: 仅为多连通区域
D: 仅为简单区域
答案: 【 为单连通或多连通区域】

6、单选题：

‌设是圆周，方向为逆时针方向，则用格林公式计算可化为（   ）．

‍选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

7、单选题：

‌设是圆周,方向取顺时针方向，则的值为（   ）．

‎选项：
A:
B:
C: 0
D:
答案: 【 】

8、单选题：

‌设为圆周上从到再到的曲线段，则的值为（   ）．

‎选项：
A: 0
B:
C:
D:
答案: 【 0】

9、判断题：

​设闭区域是由分段光滑的闭曲线所围成, 函数在上有一阶连续

‍

​偏导数，则．

‍选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

10、判断题：

‎设为正向星形线，则由格林公式有．

‍选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

11、判断题：

‎设是椭圆的正向，则由格林公式可知．

‏选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

12、判断题：

‎若区域内存在一条简单闭曲线，其所围的部分均在区域内，则称为平面单连通区域．

​选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

13、判断题：

‎设D是由曲线所围成的闭区域，函数.  因为，所以由格林公式有．

‏选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

14、判断题：

‏设为平面的有界闭区域，其边界为光滑或分段光滑曲线，则区域的面积.

‌选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

第二讲 对坐标的曲线积分的概念与计算

1、单选题：

‍设为由到的直线段，则(   )．

‎选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

2、单选题：

‏设为圆周上对应从0到的一段弧，则 (   )．

‍选项：
A: 0
B:
C:
D: 1
答案: 【 0】

3、单选题：

‏ 为圆周(方向取逆时针)，则(   )．

‌选项：
A:
B:
C: 0
D: 1
答案: 【 】

4、单选题：

‌设为从点到点的直线段，则（  ）．

‎选项：
A: 13
B: 12
C: 0
D: 10
答案: 【 13】

5、单选题：

‏设是由直线所围成的按逆时针绕行的矩形回路，则 (   )．

​选项：
A: -8
B: 8
C: 0
D: 1
答案: 【 -8】

6、单选题：

‎设为平面内直线上的一段，则(   )．

‎选项：
A: 0
B: -1
C: -2
D: 2
答案: 【 0】

7、单选题：

‎设为上从到的一段弧，则(   )．

‎选项：
A:
B:
C: 0
D: -1
答案: 【 】

8、单选题：

‏设C为依逆时针方向沿椭圆一周的路径，则=(   )．

‎选项：
A:
B:
C: 0
D: 1
答案: 【 】

9、单选题：

‎设为从点到点的一直线段，则(   )．

‏选项：
A: 11
B:
C: 14
D:
答案: 【 11】

10、单选题：

‏为先沿直线从点到点,然后再沿直线到点的折线，则(   )．

‏选项：
A:
B:
C:
D: 11
答案: 【 】

11、单选题：

‎曲线上从点到点的一段弧，则(   )．

‍选项：
A:
B:
C: 11
D: 14
答案: 【 】

12、判断题：
​第二类型曲线积分与积分曲线的方向无关.‍
选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

13、判断题：
‍当改变积分曲线方向时，第二类型曲线积分将改变符号.‍
选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

14、判断题：

​设是有向曲线弧, 是与  方向相反的有向曲线弧，则.

‏选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

15、判断题：

‎设由和两段光滑曲线组成，则有.

‍选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

16、判断题：

‏如果曲线的方程为起点对应, 终点对应，则

‎选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

17、判断题：

‍

​选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

18、判断题：

‌在对坐标的曲线积分定义中，定义 ，其中，且式中极限与积分曲线的分法和点的取法无关.

​选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

19、判断题：

‎设曲线起点A对应的参数为，终点B对应的参数为，则.

‏选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

20、判断题：

‌设曲线为有向光滑曲线，则一定有.

​选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

21、判断题：
‎在将曲线积分化为定积分时，第一类曲线积分和第二类曲线积分对定积分上下限的要求是一致的.‏
选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

2、保守场

1、判断题：

‏是整个平面区域上的保守向量场.

‏选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

2、判断题：

‍若力场沿场中某一条封闭的光滑曲线所作的功为零，则为保守力场.

‎选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

2、对坐标的曲面积分的概念

1、单选题：

‍设为平面内的一个闭区域，则曲面积分等于(     ).

‎

‍

‎选项：
A: 0
B:
C:
D:
答案: 【 】

2、判断题：

​为了区别流体流过曲面的方向，规定沿  给定的法向量流过的流量为正，反之为负.

‏选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

2、曲面的面积

1、单选题：

‏设为平面介于圆柱面之间的部分，则的面积为（  ）．

‌选项：
A:
B:
C:

D:
答案: 【 】

2、判断题：
‏在推导曲面面积的计算公式时，用曲面的内接多面片的面积近似曲面的面积.‏
选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

3、对坐标的曲面积分的计算

1、单选题：

‍设是以和为顶点的三角形区域的下侧，则曲面积分的值为(     ).

‌选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

2、判断题：
设曲面的方程为，函数在上连续，若曲面的法向量与轴的正向成锐角，则．选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

3、对面积的曲面积分的概念

1、判断题：

‌对面积曲面积分定义为：，其中为曲面分割的块数，为各小块曲面的直径的最大值，则等价于.

‎选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

2、判断题：

‎"在光滑曲面上连续”是“对面积的曲面积分存在”的充分条件.

‎选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

3、积分与路径无关的等价刻画

1、单选题：

‏设为面上的单连通区域，函数在内具有一阶的连续偏导数,则曲线积分在内与路径无关的充分必要条件是在内恒有（   ）．

‏选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

2、判断题：

‌向量场为保守场，当且仅当它是某函数的梯度场.

‏选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

4、两类曲面积分之间的关系

1、单选题：

‏设有曲面，其法向与轴正向成钝角，则曲面积分的值为(     ).

​选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

4、原函数的计算

1、单选题：

‏设，，则下列结论中不正确的是（   ）.

‌选项：
A: 是微分式的原函数

B: 是微分式的原函

C:
D: 和只相差一个常数
答案: 【 】

4、对面积的曲面积分的计算

1、单选题：

‏设S是平面被圆柱面截出的有限部分，则曲面积分的值是（   ）．

‍选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

2、判断题：

‍设为球面，则.

‍选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

5、全微分方程

1、单选题：

​设为单连通区域上有一阶连续偏导数的函数，方程在区域上为全微分方程，当且仅当在内成立（   ）．

‎选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

2、单选题：

​微分方程的通解为（   ）.

‍选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

5、对面积的曲面积分的应用

1、判断题：

‍设为上半球面，则曲面的形心坐标为．

‏选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

第五讲 对面积的曲面积分的概念与计算

1、单选题：

‌设为圆柱面夹在平面之间的部分,则曲面面积为（  ）．

‎选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

2、单选题：

‌设是锥面，则等于（  ）．

‏选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

3、单选题：

‍设为曲面，则的值为（  ）.

​选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

4、单选题：

‏设是曲面，则下列各式正确的是（  ）．

‍选项：
A:
B:  
C:
D:
答案: 【 】

5、单选题：

‏设为曲面在平面上方的部分,则（  ）．

​选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

6、单选题：

‏设为上半球面，则（   ）．

‍选项：
A:
B: 0
C:
D:
答案: 【 】

7、单选题：

​设为平面在第一卦限部分，则的值为（   ）．

​选项：
A:
B: 0
C:
D:
答案: 【 】

8、判断题：

‍若存在一阶连续偏导数，则曲面一定存在有限面积.

‎选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

9、判断题：

‏设函数在光滑曲面上连续，且，则.

​选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

10、判断题：

‍设函数在光滑曲面上连续，为曲面的面积，若存在常数  使得，则有.

‌选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

11、判断题：

‎设为平面上的有界闭区域，函数在上连续，则二重积分等于对面积的曲面积分.

‎选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 正确】

12、判断题：

‏设为球面，为在面上的投影区域, 函数在上连续，则有.

‌选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

13、判断题：

‎设是球面，则曲面积分.

​选项：
A: 正确
B: 错误
答案: 【 错误】

第六讲 对坐标的曲面积分的概念与计算

1、单选题：

‍设有曲面，其外法线与正向夹角成锐角, 则等于（   ）．

​选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

2、单选题：

‏设为旋转抛物面介于和之间部分的下侧，则等于（   ）．

‍选项：
A:
B:
C:
D:
答案: 【 】

3、单选题：

‎设是由平面,,,所围成的四面体的边界，外法线为其正向，则曲面积分等于（   ）．

‏选项：
A: 0
B: 1
C:
D:
答案: 【